2018考研数学:历年必考知识点极限的计算

编辑:徐佳毅 来源:搜狐网 时间:2017-09-14 15:25 [打印] [ ] 论坛

极限是考研数学每年必考的内容,分值在10分左右。极限的计算是考研数学的重难点,现分别从涉及的知识点、考查方式、计算常规方法、求解步骤等几个个方面进行分析。如果这部分掌握了复习的要点,还是很容易得分。下面就如何对这部分复习给大家作个全面总结。

首先看下这部分考察的方式。第一、直接考察函数极限;第二、由其他问题转化为极限问题,然后求解极限问题,常见转化的有:无穷小的比较问题;函数一点连续问题;间断点问题;一点导数存在性问题;广义积分问题;级数敛散问题,这部分的处理我们考试必须要明白他们转化极限问题的形式是什么,然后就按照极限问题处理就行了。

其次考生必须明确极限对应出题角度,通常的角度有直接考察计算、已知极限确定参数,已知极限求极限问题,极限存在性证明(证明涉及数列极限较多)。接下来就给大家重点说下每种角度该怎么去处理。

极限的计算,在处理极限计算时,按照三个步骤去做,第一就是判断类型,直接把极限变量的趋近值带入到极限函数里面算值判断;第二就是化简极限函数,等价无穷小替换(要求无穷小部分必须是整个极限函数的一个因式)、可以先求极限函数中的极限不为零的因式极限(要求是整个极限函数的一个因式的极限不为零)、极限函数中有分项的极限存在则分项求极限;第三、化简之后没有结果那么我们就要出来极限函数。

其中第三点是我们计算极限的重心,这部分我们要结合函数类型去总结出处理方式,比如是用通分、换元、同提、有理化、洛必达等处理还是用其他什么处理。用什么方式的主要是有极限函数中有什么类型的函数来决定的,如遇到带有根号首先想到能不能等价无穷小替换、然后就是有理化、换元、同提、洛必达等。其他也是类似如有三角函数从什么角度去处理、有幂指函数的怎么处理、遇到指数函数的怎么处理,遇到变限积分的怎么处理等。

已知极限确定参数问题的处理,利用极限四则运算列出关于参数的方程。需要对极限函数处理变形时,其他变形方式都一样,但是在用洛必达法则的时候要多注意。洛必达法则时要先对求导之后的极限函数讨论参数对极限的影响,这样得出参数的范围或者方程。如果有部分参数可以先确定,那可以把这部分参数先回带到极限函数中,再去确定其他参数。

已知极限求极限。处理方式一般有以几个:一是通过未知极限函数去凑已知极限的极限函数形式,然后用极限的四则运算求出极限;二是通过已知极限的极限函数去凑未知极限函数形式,然后有极限的四则运算算极限;三是通过函数极限与无穷小关系,从已知极限中解出未知的函数部分,然后把表达式带入到未知的极限函数中,求出极限。

极限存在性证明,这类题通常是以证明数列极限存在性为主。数列极限存在性的证明主要用的方法就是夹逼准则、单调有界准则、数列定义。这里的难点就是判断用什么方式处理,所以考生平时要积累什么问题选择什么方式处理。这个可以从题目给出的数列形式和条件给的角度上面去判断,比如给出数列递推关系时,往往先考虑单调有界准则、再考虑数列定义,最后考虑夹逼准则。

极限相关的基本概念和基本理论是极限复习的重点,而计算方法是极限复习也是得分的关键。基本概念和基本理论理解透了,才能正确使求极限的方法进行求解。在求极限的过程中,需要注意计算方法、理论所使用的条件,尤其是等价无穷小替换的条件。

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